Neste minicurso propomos uma abordagem significativa das primitivas  e integrais  no primeiro  curso de Cálculo, baseada  em  situações-problema que generalizam temas trabalhados no Ensino Médio.  O exemplo paradigma é o cálculo da área sob o gráfico de uma função contínua, que generaliza o cálculo de áreas de polígonos. A seguir,proporemos aos participantes outras situações-problemas, para para serem resolvidas  em grupos, pelo mesmo procedimento do exemplo paradigma, indicando qual situação-problema do Ensino Médio elas estão generalizando. Motivados pelas técnicas utilizadas, que só utilizam noções já estudadas, na segunda parte do curso é feita uma apresentação de uma integral simples, suficiente para resolver todas as ``aplicações’’ usuais do Cálculo. Segue-se um breve relato história do método empregado por  J. Fourier para resolver a equação do modelo matemático da distribuição de temperatura  em um sólido.  A integral  e a noção de área sob o gráfico de uma função reaparecerão com força nova, indo além dos exemplos geométricos  e físicos usuais, na criação de novas funções. Como é sabido, o movimento de ``rigorização do Cálculo’’,  demandando a reformulação de conceitos, tem muitas raízes no trabalho de Fourier. A Terceira, e última, parte do curso inicia com uma discussão coletiva de um texto postado numa rede social, a  respeito da necessidade de tantas disciplinas  sofisticadas e difíceis na grade curricular dos futuros professores.